ریاضی نهم صفحه ۱۲۱ - فعالیت ۱
توضیح دهید که هر یک از روشهای ارائه شده برای ساده کردن کسر مرکب با روش دیگر چه تفاوتی دارد؛ هرجا لازم است راه حل را کامل کنید. ($$x \neq 0$$)
۱) الف) $$\frac{1 - \frac{1}{x} - \frac{6}{x^2}}{1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}} = \frac{x^2(1 - \frac{1}{x} - \frac{6}{x^2})}{x^2(1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2})} = \dots\dots$$
ب) $$\frac{1 - \frac{1}{x} - \frac{6}{x^2}}{1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}} = \frac{\frac{x^2 - x - 6}{x^2}}{\frac{x^2 - 4x + 3}{x^2}} = \frac{x^2 - x - 6}{x^2} \div \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2} = \frac{x^2 - x - 6}{x^2} \times \frac{x^2}{x^2 - 4x + 3} = \dots\dots$$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۲۱ - فعالیت ۱
در این فعالیت دو استراتژی متفاوت برای سادهسازی **کسرهای مرکب** (کسر در کسر) معرفی شده است.
**روش اول (الف): ضرب در کوچکترین مضرب مشترک مخرجها**
در این روش، کل صورت و کل مخرج کسر بزرگ را در مخرج مشترک کسرهای کوچک (یعنی $$x^2$$) ضرب میکنیم. این کار باعث میشود کسرها در یک مرحله از بین بروند:
* صورت: $$x^2(1) - x^2(\frac{1}{x}) - x^2(\frac{6}{x^2}) = x^2 - x - 6$$
* مخرج: $$x^2(1) - x^2(\frac{4}{x}) + x^2(\frac{3}{x^2}) = x^2 - 4x + 3$$
حالا تجزیه میکنیم: $$\frac{(x-3)(x+2)}{(x-3)(x-1)}$$. حاصل نهایی: **$$\frac{x+2}{x-1}$$**.
**روش دوم (ب): مخرج مشترک در صورت و مخرج به طور جداگانه**
در این روش، ابتدا کسر مرکب را به صورت تقسیم دو کسر ساده مینویسیم:
۱. در صورت کسر بزرگ، مخرج مشترک گرفته و آن را به یک کسر واحد تبدیل میکنیم: $$\frac{x^2-x-6}{x^2}$$.
۲. در مخرج کسر بزرگ نیز همین کار را انجام میدهیم: $$\frac{x^2-4x+3}{x^2}$$.
۳. حالا کسر اول را در معکوس کسر دوم ضرب کرده و پس از تجزیه، عوامل مشترک را ساده میکنیم.
**تفاوت:** روش اول (الف) معمولاً سریعتر است و محاسبات کمتری دارد، زیرا با یک ضرب ساده کسرها حذف میشوند. روش دوم (ب) گام به گام است و برای کسرهای پیچیدهتر که مخرج مشترک آنها بزرگ است، دقت بیشتری ایجاد میکند.
